어파인 공간(Affine Space)

벡터는 그것이 어디에 있든지 크기와 방향이 같다면 모두 동일한 벡터로 취급된다. 벡터의 이러한 성질로 인해 공간상의 위치를 중시하는 기하학에서 벡터만으로 위치를 표시하기 어렵다.
벡터만으로 위치를 표시할 수 없기 때문에 점을 벡터 공간에 추가하면 방향뿐만 아니라 위치도 표시 가능
 - 점(point) : 위치만 있고 크기나 방향은 없음.

             동일한 벡터들 

 

 

점과 벡터 사이의 연산
V = Q – P
점 Q에서 점 P를 빼면 P에서 Q로 향하는 벡터 V가 된다.
Q = V + P
위의 식에서 Q를 우변으로 놓게 되면 다음과 같은 식이 성립하고, 등식의 우변은 벡터와 점 사이의 덧셈이 된다.

어파인 공간(同族, 親密, Affine Space)
 - 점과 벡터를 동족처럼 취급함으로써 벡터공간을 확장
 - 어파인 공간에서는 다음과 같은 3가지 연산 가능
    * 벡터와 벡터의 덧셈(뺄셈) 
    * 스칼라와 벡터의 곱셈(나눗셈) 
    * 점과 벡터의 덧셈(뺄셈)
  - 점과 벡터의 덧셈이 가능해짐에 따라 어파인 공간에서는 점과 벡터의 덧셈에 의해 어떤 점을 표시할 수 있다. 이렇게 함으로써 어파인 공간에서는 선분(line segments)을 표시할 수 있다.

 

 

선분(line segments) 표현
선분 PQ는 점 P와 Q를 잇는 수많은 점들로 이루어져 있다. 선분을 표현한다는 것은 이 점들 하나하나를 표현하는 것과 동일하다.

 

어파인 공간에서 점 P는 원점에서 점 P로 가는 벡터 P로 취급 가능하다.
선분 PQ상의 점 V 역시 주어진 원점에서 점 V로 가는 벡터 V로 표시하면 된다.

 

만약 점 V가 선분의 중심점이라면 P에서 V로 가는 벡터는 P에서 Q로 가는 벡터와 방향은 같고 길이만 반이다. 따라서 벡터 PV는 (1/2)(Q - P)로 표시할 수 있다. 그런데 벡터 덧셈 규칙에 의해 원점에서  직접 V로 가는 벡터는 원점에서 P로 가는 벡터와 P에서 V로 가는 벡터의 합니다. 따라서 다음과 같은 수식이 성립한다.
  V = P + (1/2)(Q - P)

만일 점 V가 중심점이 아니고 선분상의 다른 점이라면 위 식의 (1/2) 대신 다른 값을 대입하면 된다.

  V = P + t (Q - P)  = (1 - t)P + (t)Q     (0 ≤ t ≤ 1)

  * 점 = 점 + 벡터
  * 벡터 = 점 – 점
  * 점 = 점 + 점 (각 점들 앞의 계수 합이 1일 때에 한해 허용)