벡터의 내적과 외적

벡터의 내적은 두 벡터 a,b의 크기(절대값) |a|,|b|의 곱에 a,b 사이 각의 코사인을 곱해서 얻어지는 스칼라량 |a|·|b| cosθ를 a,b의 내적 또는 스칼라곱이라 하고 a·b 또는 (a,b)로 나타낸다. 기하학적으로는 |a|와 b의 a에의 사영 |b| cosθ와의 곱, 또는 |b|와 b 위에의 a의 사영 |a| cosθ와의 곱을 뜻하는 것이다. 또 a와 b의 성분을 각각 a_x·a_y·a_z, b_x·b_y·b_z라 하면 (a,b)＝a_x·b_x＋a_y·b_y＋a_z·b_z 와 같이 두 벡터의 내적은 같은 성분끼리의 곱을 합한 것과 같다. 더욱 (a,b)＝(b,a), 즉 벡터의 내적에 대해서는 교환법칙이 성립한다.

벡터의 외적은 두 벡터 a,b 사이의 각을 θ라 하면 |a|·|b| sin θ라는 크기, 즉 a,b를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이와 같은 크기를 가지고 a,b를 포함하는 평면에 수직이고 a에서 b로 시계방향과 같은 진행방향을 가지는 벡터를 a,b의 외적 또는 벡터곱이라 하고 이것을 내적과 구별하여 ［a,b］ 또는 a×b로 표시한다. a,b를 벡터성분으로서 a＝a_xi＋a_yj＋a_zk,b＝b_xi+b_yj＋b_zk 로 나타내는 경우에는 i j k［a,b］＝ a_xa_ya_z ＝ c_xi＋c_yj＋c_zk＝c b_xb_yb_z 즉, c_x＝a_yb_z－a_zb_y, c_y=a_zb_x－a_xb_z, c_z＝a_xb_y－a_yb_x를 성분으로 하는 벡터 c가 a, b의 외적이 된다. 정의로부터 ［a,b］와 ［b,a］는 서로 방향이 반대이며［a,b］＝－［b,a］로 되므로 외적에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않는다.